Einführung in die Metronenrechnung, Teil 2

Nachdem wir uns im letzten Teil ja nun schon etwas mit der Metronenrechnung beschäftigt haben. Möchte ich in diesem Teil etwas genauer darauf eingehen, wie man das Metronintegral bildet.

Zur Erinnerung: Das Metronintegral ist das Analogon zum infinitesimalen Integral. Es wird in der Heim’schen Quantenfeldtheorie verwendet um im mikromaren Bereich mit ganzzahligen Vielfachen zu rechnen, da dort infinitesimale Konstrukte nicht mehr sinnvoll anwendbar sind.

Das Metronintegral ist die Inversion des Metrondifferential, wie in der normalen Infinitesimalrechnung das Integral die Inversion des Differentials ist. Wenn also irgendeine metronische Funktion $\phi$ gegeben ist, lässt sich dazu eine metronische Stammfunktion $\Phi$ bilden, deren Ableitung wieder $\phi$ ergibt.

$$\eth\Phi = \phi$$

Bestimmung der metronischen Stammfunktion

Nehmen wir uns nun also eine beliebige Funktion, in diesem Fall $\phi(n) = n^2$. Die Stammfunktion muss obige Bedingung erfüllen, also $\eth\Phi = \phi$, somit $\Phi(n) - \Phi(n-1) = n^2$. Dies lässt sich nicht ganz so einfach bestimmen. Es gibt jedoch einen Weg. Es lassen sich wie in der Infinitesimalrechnung einige Rechenregeln aufstellen. Diese benutzen statt Potenzfunktionen sogenannte fallende Fakultäten.

Fallende Fakultäten

Definition:

Der Ausdruck x hoch m fallend (fallende Fakultät) ist definiert als:

$$x^{\underline{m}} = (x-0)(x-1)(x-2) … (x - (m - 1))$$

So ist zum Beispiel $x^{\underline{3}} = (x-0)(x-1)(x-2)$.

Metrondifferential fallender Fakultäten

Achtung! Der folgende Absatz ist inkorrekt und wird demnächst überarbeitet.

Wir stellen nun fest: Für das Metrondifferential einer fallenden Fakultät gilt: $\eth x^{\underline{m}} = mx^{\underline{m-1}}$. Der Beweis ist einfach.

$\eth x^{\underline{m}} \\ = x^{\underline{m}} - (x-1)^{\underline{m}} \\ = (x-0)(x-1)(x-2)\cdots(x-(m-1)) - (x-1-0)(x-1-1)(x-1-2)\cdots(x-1-(m-1)) \\ = m(x-0)(x-1)\cdots(x-((m-1)-1)) \\ = mx^{\underline{m-1}}\\$

Dies ist ein wunderbares Anlagon zur Ableitungsregel aus der normalen Differentialrechnung, in der ja gilt $\frac{d}{dx} x^m = mx^{m-1}$

Umwandlung von Potenzfunktionen in fallende Fakultäten

Achtung! Der folgende Abschnitt ist inkorrekt und wird demnächst überarbeitet.

Wenn wir jetzt noch Potenzfunktionen in Konstrukte aus fallenden Fakultäten umwandeln können, wäre es sehr leicht, Metrondifferentiale aus Potenzfunktionen umzuwandeln. Tatsächlich geht das. Es gilt nämlich

$$x^m=\sum_k \left\{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}\right\}x^{\underline{k}}$$

Dabei sind $\left\{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}\right\}$ die Stirling-Zahlen zweiter Art. Ich will nicht zu sehr ins Details gehen, die kann man dem Wikipedia-Artikel entnehmen. Weiter unten finden Sie die Umwandlungsregeln für die ersten paar Potenzen.

Beispiel: Summe der Quadratzahlen

Achtung! Der folgende Absatz ist inkorrekt und wird demnächst überarbeitet.

Im ersten Teil habe ich ja schon das Metronintegral von $\phi(n) = n^2$ gezeigt. Nun lässt sich das auch herleiten. Wandeln wir die Funktion zuerst in die Summe ihrer fallenden Fakultäten um $\phi(n) = n^2 = n^{\underline{2}} + n^{\underline{1}}$. Wenn wir davon nun die metronische Stammfunktion bilden, wird aus $x^{\underline{m}}$ gemäß der Rechenregel $\frac{x^{\underline{m+1}}}{m}$, wir erhalten also $\Phi(n) = \frac{n^{\underline{3}}}{3} + \frac{n^{\underline{2}}}{2}$. Und wenn wir das auflösen und umstellen, kriegen wir die Funktion, die ich im ersten Teil angegeben habe.

Weitere Rechenregeln

Warnung! Der folgende Abschnitt ist teilweise inkorrekt und wird demnächst überarbeitet.

Wenn man jetzt viel Zeit hat und damit rumspielt, kriegt man noch viel mehr Rechenregeln raus, deren Herleitung ich hier nicht angeben will. Das überlasse ich gerne dem Leser.

Funktion $\phi(n)=\cdots$ Metrondifferential $\eth\phi$ Metronstammfunktion $\Phi$
$n^{\underline{m}}$ $mn^{\underline{m-1}}$ $\frac{n^{\underline{m+1}}}{m+1}$
$2^x$ $2^x$ $2^x$
$c^x$ ($c$ sei konstant) $(c-1)c^x$ $\frac{c^x}{c-1}$

Außerdem finden sich in den Elementarstrukturen im Kapitel III.1 (Metronische Elementaroperationen) einiges an Eigenschaften, die ich hier nicht wiedergeben möchte. Allerdings gibt es dort zwei Fehler. Und zwar in der 3. veränderten Auflage von 1998 (das ist meines Wissens nach die aktuelle Auflage):

  1. In Zeile 18, in der Gleichung wird der rechte obere Index in der ersten Matrix mit $u$ angegeben. Korrekt müsste er lauten $u’$.

  2. In Zeile 20, in der 2. Matrix in der Gleichung im rechten oberen Index wird $v$ geschrieben. Korrekt wäre $\eth v$ - es fehlt also der Metrondifferentialoperator.

Hier nun noch die Umrechnungen von Potenzen in fallende Fakultäten für einige Funktionen.

Die nachfolgenden Gleichungen, ergeben Sie wie geschrieben aus den Stirling-Zahlen und lassen sich gut folgendem Wikipedia-Artikel entnehmen: Stirling Numbers of the second kind